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游戏规则及概率

人类在发明扑克很久以前就已经开始研究概率及博弈了。对于每个德州扑克新手,一定不会对牌型大小表陌生。一张典型的牌型表从上至下规定了游戏中不同牌型的大小。

但为什么他们这样排列?是同花大还是顺子大?恐怕这个问题困扰过无数新手。事实上这一切都有数学原理。

牌型总数概率累计概率发生比
皇家同花顺4,3240.0032%0.0032%30,939 : 1

同花顺

(除去皇家同花顺)

37,2600.0279%0.0311%3,589.6 : 1
四条224,8480.168%0.199%594 : 1
葫芦3,473,1842.60%2.80%37.5 : 1
同花4,0476443.03%5.82%32.1 : 1 
顺子6,180,0204.62%10.4%20.6 : 1

三条

6,461,6204.83%15.3%19.7 : 1
两对31,433,40023.5%38.8%3.26 : 1
一对58,627,80043.8%82.6%1.28 : 1
高牌23,294,46017.4%100%4.74 : 1
总计
133,784,560100%100%0 : 1

从表格中我们可以看到,除去高牌之外,所有的牌型大小排列,均依据他们的发生概率(概率越小,牌型越大)。其中总数是在德州扑克游戏过程中,发出7张牌形成此种牌型的组合总数。此数据为精确值。概率和发生比为近似值。

值得注意的是高牌的发生概率低于一对或者两对。

附:牌型总数的推导过程

如下计算过程展示了各种牌型总数的推导过程。其中使用了非常简单的排列组合/二项式知识。

皇家同花顺

4种花色的(T-J-Q-K-A),还从剩下47张牌中任选两张:

 111.jpg

同花顺(除去皇家同花顺)

每个同花顺由指定大小的一张牌决定,这些牌从5开始(A-2-3-4-5)到K0-T-J-Q-K),一共9种,再加上四种不同花色。另外从46张牌中任选两张(除去会组合成皇家同花顺的A):

 2.jpg

需要额外说明的是皇家同花顺只是同花顺的特殊形式,在规则中其实并没有必要额外写出。在此只是为了配合国内的规则讲解。

四条

13张不同大小的牌选出4张,再从另外48张牌中任选3张。需要注意的是由于4张同样大小不同花色的牌已经全部选出,所以无需重新计算不同花色了:

 3.jpg

葫芦

7张牌中出现葫芦会有三种情况:

三条+一对+2张踢脚:

 4.jpg

三条+两对

 5.jpg

三条+三条+1张踢脚

 6.jpg

所以葫芦的总数一共有3,249,720+123,522+54,912 = 3,472,184

同花

7张牌中的同花可以由5张同花、6张同花和7张同花三种情况组成。在5张同花和6张同花时,额外的牌从其他花色中任意挑选。最后的总数再减去同花顺的总数(此处包含皇家同花顺):

 7.jpg

顺子

因为有可能和同花、三条、两对、一对同时发生,顺子的总数计算比较复杂,所以计算过程必须分成不同的情况:

7张不同大小的牌:

在不考虑花色的情况下,7张不同大小的牌,组成顺子一共有10种,其中A-K-Q-J-T只有1种,另外2张牌从余下8张牌(13-5)中任选,其余的顺子共有9种,另外两张牌从余下7张牌中任选2张(除去了顺子顶上的那张牌):

 8.jpg

再考7张牌任选各自花色的组合总数:

 9.jpg

这其中同花的总数计算分为三种情况:

  • 7张牌全是相同花色;

  • 6张相同花色,剩下1张从另外3种花色中任选;

  • 5张相同花色,剩下2张从另外3种花色中任选:

 10.jpg

所以7张不同大小的牌任选花色,但又不计入同花的总数是:

16,384 - 844 = 15,540

最后,所以7张不同大小的牌任选花色组成顺子,但又不计入同花的总数是:

217(大小的组合)*15,540((花色的组合)) = 3,372,180

6张不同大小的牌(出现一对):

不考虑花色,只考虑大小时,顺子的总数有10种。其中A-K-Q-J-T一种,另两张牌从8张大小中选一张,其余的顺子共有9种,另外两张牌从余下7张牌中任选1张构成一对(除去了顺子顶上的那张牌):

 11.jpg

现在计算凑成对子的不同组合。挑选之前6张不同大小中的任意1张组成一对考虑花色:

 12.jpg

另外5张不同大小的牌的不同花色组合一共有:

 13.jpg

在这些组合里,同花的情况需要被减去。这5张牌的选择里可以有2种情况构成同花,一种是5张全是同花,另一种是5张里有4张相同花色,并和7张牌中的另外一对中的1张组成了同花。如果是前一种情况,4种花色41。如果是后一种情况,5张里选4张同花,另外一对(2张不同花色的牌)中选1张(此时花色是31):

 14.jpg

所以满足6张不同大小牌型的情况,但又不是同花的总数是:

1024 - 34 = 990

最后满足6张不同大小牌型的情况,并且构成顺子,但又不是同花的总数是:

71*36*990 = 2,530,440

5张不同大小的牌(出现三条):

5张不同大小并且构成三条需要2步:首先在5张中选1张,让它组成三条(4个花色里选3个):

 1234.jpg

然后剩下4张牌,可以任意选择花色,但要减去其中有三种会和前面的三条凑成同花的情况:

 123456.jpg

所以顺子+三条但又不构成同花的情况一共有:

10*20*253 = 50,600

5张不同大小的牌(出现两对):

第二种5张不同大小的牌构成顺子,是两个两对与三张不同大小的牌。这里面有10种不同的牌型大小组合,但因为其中的两对可能有234种不同的花色,计算其中的同花比较复杂。首先,两对从5张不同大小的牌中选,所以可能的组合有:

 17.jpg

2个两对可以从4个花色中选2个:

 18.jpg

36个情况里,6种情况有2个花色,24种有3个花色,剩下4种情况有4个花色。需要注意的是剩下的3张牌里可能出现的花色组合是4*4*4。当这两对有2个花色时,剩下3张牌如果都和这2个花色一致,则会形成同花,这种情况有2种。当这两对有3个花色时,剩下3张牌如果都和其中的两对同花的花色一致,则会形成同花,这种情况有1种。当2个两对有4种花色时,不会产生同花。所以这些所有的并不形成同花的情况一共有:

 19.jpg

所以所有5张不同大小的牌,形成顺子+两对的情况一共有:

10*10*2268 = 226,800

所以顺子的全部情况有:

3,372,180+2,530,440+50,600+226,800 = 6,180,020

三条

三条的组成必须包含5种不同的大小,(否则会形成四条、一对)。但5种不同大小的组合需要减去其中的10个顺子组合:

 20.jpg

5种不同大小的牌中,选一个成为三条的组合(从这里开始记入花色,但只计算三条的花色):

 21.jpg

剩下的4张牌中,从4种花色中任选(大小已经在第一步中考虑过),并减去3种可能与三条凑成同花的情况:

22.jpg

所以三条的总数为:1,277*20*253 = 6,461,620

两对

两对可以由两种情况组成

3个一对与1张踢脚。4张不同大小的牌,其中3张各自成为一对,有 种不同的花色组合,最后一张踢脚可以是任意花色:

 23.jpg

2个一对与3张踢脚。5种不同的大小减去10个顺子,其中2张各自成为一对,

 24.jpg

一对

一对必须由6张不同大小的牌组成,但必须减去可能会形成顺子的情况。对于6张顺,一共有9种(从6A,不考虑花色)。对于5张顺,当顺子不管是从5开始还是到A结束,剩下的牌必须从剩下8张里选择,减去凑成两端顺的牌(69)。在其他任何8种情况,剩下的牌可以从任何其他8张牌中选,减去两端顺中任意一端的那张。所以,这样的组合中不凑程顺子的情况一共有:

 25.jpg

一共有 的方法来选择踢脚,而且对于6张不同大小的牌,共有34种可能会出现同花的组合,所以这些组合中不凑成同花的总数是:

 26.jpg

在这6张不同大小的牌中我们任选1张构成两对,这个两对的花色可以任选,所以两对的组合一共有:

 27.jpg

所以一对的总数有:

1645*990*36 = 58,627,800

高牌

首先考虑大小。七张不同大小的牌任意组合,减去会构成顺子的组合。7张顺有8种情况(从7开始,到A结束)。6张顺的计算我们在上面5张顺+一对的情况看过,剩余1张大小的牌从5张顺的上下两端中任选(6种大小),加上剩余的大小减去2个(一共5种)。5张顺的计算和一对一样,但是要选择2张牌而不是1张牌。所以这种大小组合但又不构成顺子的总数是:

 28.jpg

再考虑花色。在任选7张花色的所有组合里,一共有844种同花的可能。所以所有的组合减去构成同花的情况一共有:

 29.jpg

所以高牌的总数一共有:

1,499*15,540 = 23,294,460

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